在数学课堂中，我们越来越关注学生的深度学习，培养学生的高阶思维能力。学生能够在对比、联系中做出决策，将原有的认知结构迁移到新的知识结构中，将所学的知识和技能在真实世界中得以运用，联结书本上的数学知识和真实世界的数学原型，解决新情境中的问题，这是我们追求的课堂教学目标。迁移能力，是深度学习的一个重要表征，也是教学的终极目标之一。而迁移能力的培养，应该基于“理解”的教学，这是实现深度学习的关键。
《教学月刊·小学版（数学）》 2019年第9期中“专题研究”“备课之窗”“课堂新探”“教学反思”四个栏目中的9篇文章都非常注重学生深度学习，关注学生迁移能力的培养，都能从“大概念”“理解”等角度高位思考，进而设计教学，并取得了很好的教学实效。
一、以“大概念”，扩展教学设计格局
什么是大概念呢？“大概念”就是一个概念、主题或问题，它能够使离散的事实和技能相互联系并有一定意义。假如学生学到的是零碎的知识，那么这些知识往往就少了生长力，“大概念”具有“吸附力”和“遷移力”，可以将各个知识点联系起来，有助于对知识与技能的理解和整合。“大”不是指“多”和“广”，也不是指“基础”概念，而是学科的“核心”，它是思考和感知的方式，指向一个学科领域中最精华、最有价值的部分。
郜舒竹教授的文章《学生解决“鸡兔同笼”问题的协变思维》就谈到了这个问题。他从四年级和五年级学生的解题方法中，发现了与协变思维有关的一些“大概念”，如“取半调整”“加倍”“等分”“配对分组”“盈亏互补”等，学生灵活应用这些“大概念”，将已有知识和经验成功地迁移到新的情境“鸡兔同笼”中来，成功解决了新问题。郜教授在文章中，使用了“大想法”这个词，而且给出了定义：“像这样从解题的具体做法中提取出一般意义的想法，西方文献中通常叫作‘大想法（Big idea）’。”我觉得，这样的定义和命名更容易让我们理解。
胡良梅的《挖掘简单背后的丰富意蕴——基于一节口算教学课的思考》一文提出：“口算60÷3，学生说出得数并不难，但对算法和算理的理解其实还是模糊不清的。”这里其实也蕴含着一个“大概念”——“整体化”，即一个数词可以表征不同数字的能力，也就是我们所说的“位值原则”。三年级学生还很难理解位值的含义，因为他们不知道“整体化要求学生不仅将数字作为对象来计算，也要将数字看成集合进行计算，甚至以上两个同时进行。所以，一个数整体上是一个数组”，对学生来说，这样的整体化认识是一次看待问题视角的大转变。
金秀叶的《“用字母表示数”教学实践与思考》一文提到，她设计教学时考虑的四条主线：（1）抓住学生起点，从“记数”到用字母表示“未知数”;（2）在同一情境中，不同的字母表示不同的数;（3）在同一情境中，明确两个量之间存在相差或倍比关系时，在用一个字母表示某个量的前提下，可用字母关系式表示不同的数;（4）引发学生（认知）冲突，从“量”到“数量关系”，用含有字母的式子表示关系。这样的思考不仅抓住了“符号意识”这个大概念，还为另一个大概念“结构化”打开了思路。代数是在方程式中排列已知和未知内容的一种方式，从而使未知变成已知。学生在学习了交换律、结合律和分配律之后，就可以在这个结构中自由切换、转换，就能认识到解新的方程式一点也不难。
范林伟和王伟的《数学绘本课课型及教学建议》一文指出：数学绘本以图文并茂的方式直接或间接地展现数学知识，能使学生在有意义的情境中学习数学。实践表明，数学绘本课的教学不仅丰富了学生对数学知识的认知，而且有效地搭建了数学与生活的桥梁，帮助学生理解了生活中的数学。这里的大概念就是“真实情境有助于数学理解”，数学绘本以其生动、活泼的故事画面和趣味、曲折的故事情节，沟通数学与生活的联系，牢牢地抓住学生的心，能快速激发学生的探究欲，极大地提高他们的学习兴趣，引导他们以主人公的视角去经历故事的发展，并从中获取知识与经验。在丰富学生的数学学习体验，积累数学活动经验，习得知识技能的同时，帮助他们积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验。
在仔细阅读后，我们可以发现本期的9篇文章不约而同地出现了“大概念”的思想，这说明，在日常的数学教学中，一线教师已经开始关注“大概念”并以此引领自己的教学设计思路。大概念的功效和重要性是显而易见的，它可以让我们对要教什么、不教什么、重点是什么、需要强化或弱化的是什么做出合理的判断与选择。从整体角度看，可以让我们更清楚教学的重点以及知识点之间的联系，大概念是教学设计的核心，学生将围绕着它们展开学习活动，真正的基本问题可以引发学生持续的思考，蕴含着大概念，而这些思考恰恰是逼近学科本质、涵纳专家素养的，是文学家、统计学家和科学家真正的思维方式，能促进学生的深度学习。
二、以“理解”六侧面，规划教学设计目标
理解是一个不同于“知道”的概念，它是多维的和复杂的，有不同的类型、不同的方法，同时和其他知识目标也有概念上的重叠。威金斯和麦克泰格将理解作为教学追求的目标，这有别于布鲁姆提出的目标分类法。他们认为，实际上大家对于不同类型理解的关注度还不够，知识和技能并不会自然导致理解;和我们可能意识到的问题相比，学生的误解是一个更大的问题;对理解的评估需要学习证据，而这些证据不能仅仅从传统测试中获得。他们提出可以从解释、阐明、应用、洞察、神入、自知这六个侧面达成真正的理解。
以理解为目标的教学设计更关注学生的学习状态，更关注学生的学习迁移能力和表达能力，数学学科应当注重学生深度学习、关注学生高阶思维发展，应当将“理解”作为开展教学设计的起点。本期《教学月刊》就为我们提供了多篇颇具示范性的优秀教学案例。
范林伟和王伟的《数学绘本课课型及教学建议》一文，探讨了数学绘本整体性教学设计，其教学目标——“双向融合”，既要契合教材的编写意图，又要体现绘本的教育意义，这和六侧面中“阐明”所说的“提供合适的转化，从历史角度或个人角度揭示观点和事件的意义;通过图片、趣闻、类比和模型等方式达到理解的目的”相契合，另一个目标“双主线并行，关注学生知识的生长点与应用点”，将外显的故事线和内隐的知识线融合——这符合“解释”这个侧面中“系统合理地解释现象、事实和数据，洞察事物间的联系并提供例证”的要求。
翟运胜的《触发学生“高峰体验”的教学策略》一文中提到：设置认知冲突，激发学生的探究欲，让学生在认知冲突中批判性地看待理解观点，从大局从整体出发考虑问题，这就是“洞察”。文章还提到：数学教师应当琢磨如何让学生经历“高峰体验”，以促进学生健康人格的形成，产生对数学的美好感情，从而对数学的未知世界产生好奇心理，形成和发展创造力，这就是从“神入”和“自知”两个侧面理解教学，让学生能从奇特的或难以置信的事物中发现价值;在先前直接经验的基础上进行敏锐的感知，通过元认知，察觉个人风格、偏见、心理投射和思维习惯等，反思学习和经验的意义。
薛正桧的《让每一次跨越都具有成长的意义——“长方形和正方形面积的计算”教学思考与实践》一文中的五次“跨越”：从“观察”到“操作”的跨越;从“直接”到“间接”的跨越;从“高维”到“低维”的跨越;从“计量”到“计算”的跨越;从“归纳”到“演绎”的跨越。不仅系统合理地“解释”长方形面积计算中的现象、事实和数据，也完成了从数面积到算面积的合理转化，“阐明”了面积计算的算理，并通过图片、趣闻、类比和模型等方式达到理解的目的，更通过推理模式的转变，“洞察”了事物间的联系，明白了量和算之间的关系。
朱海锋的《归纳建模的课堂尝试——记“找次品”拓展课》一文中提到：教材中的找次品主要研究在知道次品轻重前提下的优化策略。朱老师在这节课中尝试着将“找次品”拓展到在不知道次品轻重前提下展开探究，他进行这样的尝试，是因为他在前教学中敏锐感知到了拓展的必要性。他设计了三次归纳猜想，为学生提供不同的学习情境，合理地从现象、事实和数据中“洞察”事物间的联系;他在不断地帮助学生建模，以达到理解的目的;他让学生在对比变量中探究，就是在进行批判式思考;他用拓展课完善“找次品”的各种情境，是从整体上进行分析，从奇特的现象中发现规律和价值……
我们发现，这9篇文章的教学设计目标都可以从解释、阐明、应用、洞察、神入和自知这六个侧面加以阐述。这既是一线教师在“理解”基础上开展教学设计的具体表现，也是课堂中深度学习得以开展的必要保障。当然，在要求学生达成多侧面理解之前，教师自己需要对以“理解”为起点的设计有更深刻、更全面、更系统的认识。
三、以“逆向思考”，规划教学设计流程
最好的教学设计应该是“以终为始”，从学习结果开始的逆向思考。如果我们没有弄明白教学目标或者说所追求的理解层次是什么，不知道这些目标的表现形式，那我们就无法实现“为理解而教”。
威金斯和麦克泰格提出了“逆向设计三阶段”：第一阶段，确定预期目标;第二阶段，确定合适的评估证据;第三阶段，设计学习体验和教学。
本期的教学设计中，教师们都能根据核心概念（包括大概念）或核心问题进行思考，寻求对问题的理解，然后从长远的综合学业表现开始逆向设计，收集、明确适合的佐证材料，然后开始规划环节，这有点像写议论文时要先明确论点，再收集论据，最后开始思考如何论证，这种思考方式正好和威金斯和麦克泰格倡导的“逆向设计三阶段”相吻合。
沈秋红的《画一画，轻松学数学——一年級学生运用几何直观解题实践》一文，在第一阶段明确了大概念“画图有助于描述和分析问题”;在第二阶段确定了以“画图解题方法的指导”“直观图、线段图、条形图等丰富的画图策略”“情景模拟、画图为引导的算法多样化”来评估几何直观可以帮助学生理解并解决数学问题这一预期目标;在第三阶段设计了“读图、画图、优化画图方式、情境模拟”等活动来实现预期目标。
薛正桧的《让每一次跨越都具有成长的意义——“长方形和正方形面积的计算”教学思考与实践》一文，在第一阶段确定了五大预期目标：五次跨越（见前文）;在第二阶段确定了五个评估证据：能从观察到操作的比较面积大小，能用单位面积测量大面积，能根据边长推算面积，能推导长方形面积计算方法，能推导正方形面积计算方法;在第三阶段设置情境、设计例题、细化环节。
莫广荣的《从“圆心确定圆的位置”说起》一文，在第一阶段通过查阅资料和调查发现，“圆的位置要通过圆心位置来表达”这一观点没有得到重视和内化;在第二阶段提出疑问“学生会从心底里认可这一说法吗？”并设计教学实验;在第三阶段通过画图、寻找典型案例、讨论交流等方式验证假设。
朱海锋的《归纳建模的课堂尝试——记“找次品”拓展课》一文，在第一阶段确立大概念“归纳建模有助于学生思维发展”;在第二阶段确定以“找次
品”拓展探究为载体，在知道与不知道次品轻重的比较中完善模型结构，在多次猜想及验证中提升归纳能力;在第三阶段设计三次猜想、探究、讨论流程，设计活动的难度与梯度，设计活动量表。
逆向设计不是一个新的思想，但是其结果更清
晰地界定并更明智地平衡了短期和长期目标，提出了更恰当的评估办法，和一般的教学设计相比，教学的目的性更强，尤其是把教育目的定位在实现有效的学习迁移时，“逆向”显得更有优势。
重视“大概念”的分析与确立，可以让我们更整体化、系统化地思考教学，让教学更有延续性和连贯性，可以扩展我们教学设计的视野和格局。我们应该把理解六侧面渗透到教学设计中去，这样能让我们更加明确知识点的定位，单课时的目标，单元的目标，必要的评估任务和方式，以及设计有效的学习活动。我们不能只是简单地呈现内容和展开活动，我们希望教学能像GPS那样工作，先定位，然后发现到达那里的最好的教学路径。
史蒂芬·R.柯维说：“一开始就在头脑中想好结果和目标，这意味着你对自己的目的地有清晰的了解，这意味着你知道要去哪里，从而能够更好地知道你现在的位置以及如何走才能保证你一直朝着正确的方向前进。”
以终为始，我们追求基于“理解”的数学教学设计，我们会基于“理解”来设计数学教学。
（浙江省杭州市天地实验小学 310006）