摘 要：微积分教学是理工类高等数学教学的重要概念之一，其蕴含的数学思想对强化学生的数学思维具有重要意义。作为重要专业基础课，很多学生能够运用相关定理来求导、积分，但对微积分概念的认知往往不深刻，存在较大的关系认知模糊。基于此，本文从构建微积分概念教学设计入手，对常见的概念意向认知错误进行分析，并通过极限、导数、定积分的几何意义进行区分，从而设计微积分概念教学原则，引导学生从概念间的关系来阐释问题，帮助学生正确地构建微积分概念。
关键词：高等数学；微积分概念；问题导向；教学设计
中图分类号：G642.0 文献标识码：A
高等数学在面向“大众化教育”发展中，学生层次越来越不均衡，课程教学质量难以得到有效保证。微积分课程是高等数学教育中的重要概念，其教学导入、教学方法及教学效果有待改进。特别是对微积分概念的理解，由于课程教学目标具有差异性，在实践教学中被压缩，而微积分作为数学思维的重要概念，长期以来又没有得到各方的重视，导致学生仅仅能做基本的运算，而难以深刻理解其思想。[1]为此，应加大对高等数学微积分概念的教学设计，力求从学科知识衔接上提升广大学生的数学素养，从问题导向上重新审视和挖掘微积分概念中的关系，促进学生正确理解和构建微积分基本概念意向。
一、高等数学概念意向研究
高等数学中的概念教学有助于提高学生的数学思维，斯根普是最早研究数学教育心理学的学者，他将数学理解为工具性和关系性的综合，符号所指代的是事物，在语义理解上表示一定的程序性，而关系是对符号意义及替代物之间结构的认知，能够从符号意义中来理清有效的逻辑关系。随后，David Tall、斯特瓦特等人围绕数学基础概念，从高等数学思维视角来分析数学概念；如利用微积分来分析极限、探讨无穷大等概念的过渡关系，帮助学生从数学概念来建立概念意向。[2]概念意向是什么？维纳和赫绰维茨从几何概念中提出了“概念意向”，用以区别概念形式、公众界定及个人认知心理结构。通过对“概念意向”的形式化定义，从数学知识与主观建构中形成理解，需要在数学运算动态过程中，将概念与数学形式形成有效关联。概念意向的建立，对于学生更好地理解数学思想和培养学生的数学思维具有重要意义。如从函数的一致收敛性，从形式定义到概念意向的建立，有助于学生从概念中激发丰富的概念意向，强化对数学逻辑思维的训练。
二、微积分概念的常用教学方法
微积分概念是高等数学的基础性知识，许多数学家和数学教育家都对微积分的概念教学提出过建议，认为只强调基本的计算，不利于学生从思维认知上理解，更难以从中提升学生的数学思维水平及数学素养。笔者尝试从问题导向上来审视当前微积分概念的常用教学方法。
1.直观教学法
对于“直观”思想的运用，数学教育家M·克莱因在《对高中数学课程的建议》中强调，不要讲数学说得过于严密，而是要将之描绘得尽可能靠直觉来接受。[3]同时，他在《微积分：直观和物理的方法》中提出，对于微积分知识，利用直观的方法来提炼数学概念，从其定义、发展及如何应用上，来帮助学生树立微积分的概念。对于微积分知识的教学，高中阶段往往是形式化的演绎证明，而对于大学，就需要从微积分的本质上来进行认识。David Tall从高等数学思维几何微积分教学研究中，试图利用图式概念来直观地呈现微积分思想。Daoid Tall指出，微积分的基本思想是变化、变化率、变化率的累积，分别从运算、逆运算中用图、数、符号来进行表征。将数学的工具性和符号化作为问题情境构建的基础，帮助学生从形式化证明中回归到具体化世界。我国有些数学家也提倡直观法教学，如赵访雄提出，对于高等数学中的概念教学，要避免照本宣科，更应该从形象化、生动的实例中来渗透和讲解基本概念。
2.历史发生法
历史发生法教学是利用数学历史，将数学概念与其历史发展相渗透，引导学生从中来理解。数学家托普利兹倡导用历史的方法研究微积分，并从“发生的方法”中克服了无穷小微积分的困难。如面对泰勒级数、中值定理、定积分、收敛性等概念，为什么会这样？是怎么样得到的……对这些问题的回溯，都是从数学历史中来展示，从而让学生从问题、概念、事实的本原上获得全面理解。正如G·Kothe所谈到的，托普利兹的“发生的方法”，能够从数学基本原理的发展过程来进行理解，帮助我们从数学观点中的历史溯源中来研究数学史，激励学生更好地认知事物。[4]单纯从逻辑视角来探讨数学问题，只能给学生最终的答案，对于答案本身，是难以理解其形成过程的。我们从托普利兹的“发生的方法”中，可以从数学概念的历史背景中来建构，让学生更好地将其消化、吸收和内化到数学智力结构中。
3.基于概念的学习方法
基于概念的学习方法是通过概念环境，从概念的理解、应用、迁移等方面来构建知识，特别是通过量化和质化研究，让学生从知识和程序性知识中获得深刻的理解。概念环境多表现为课题教学氛围，从缜密的公式及基础计算的关联性上，渗透一部分技巧来强化学生对基本概念的理解。如我们在建立数学、图形、代数等相互关系时，从认识定积分之前，可以从被积函数在指定区间上的函数图形来表示定积分。而对于传统的教学环境来说，多侧重于技巧的运用，忽视了概念本身，使得学生仅仅获得计算方法。可见，应通过对概念的理解，辅以程序性的技巧应用，让学生能够从概念的扩展性上加深对概念多种表征的理解，引导学生从一题多解中构建知识体系，增强数学迁移能力。
三、微积分概念教学设计方案
1.微积分概念教学的设计原则
在微积分概念教学设计中，其原则表现在三点：一是通过本原性问题来导入概念，以历史的发展观念来阐释数学概念；二是利用几何图形直观地显示， 或者从生活中选取直观的案例来构建概念环境；三是强化概念与关系的阐释。为此，遵循上述原则，从实例选取上，侧重将微积分的重要概念，如极限、导数、积分等进行细化，从概念理解的难点、重点等方面，对微积分的结构及自身特点进行分析。如在极限的理解上，可以用严格的形式化语言来界定微积分概念，当然，学生在理解ε-N语言遇到难题时，就需要加大形式化语言的理解与运用；在学习导数概念时，从中学导数概念的引申，到导数与函数的极值关系，再从导数的概念意象中来探讨切线斜率等形式，从导数的变化率中来认识导数的思想；在学习微分概念时，可以从变化率和增量两个向度来探讨，前者在讲解时引入导数概念，后者在讲解时引入微分概念，并从微分与微积分的概念关系上，确立相互之间的联系，将微分概念作为设计重点，突显微分概念在学生数学思维中的概念图地位。再如在中值定理教学中，将中值定理的逻辑推理作为重点，从导数的运用，再到概念的严格化，并从中值定理的最初形式到分析其形态、形式的差异性，让学生感知定理的演化过程。
2.微积分概念教学流程分析
构建微积分概念教学，以具体的案例设计来进行综合阐述，并从一年级微积分课程教学对比实验中，来设计教学模式，围绕问题导向来解决相关问题。第一阶段为准备和设计阶段，从近年来微积分概念教学相关文献中梳理常见问题，并就微积分概念教学的重点进行明确，设计出每个概念的前测、后测试卷；第二阶段是教学实施和问题干预，通过对概念教学前的前测，了解学生对概念的认知起点，特别是常见的误解，来优化教学设计，修正教学流程和侧重点，课后进行总结教学反思，对概念教学的实施效果进行总结并加以改进；第三阶段是回顾和反思，从前测、后测结果对比中，对微积分概念教学实效性进行检验，了解学生对概念教学的认知度。
3.微积分概念教学设计实施过程
在微积分概念教学设计中，选取微分教学设计来进行分析。微分作为数学中的重要概念，主要涉及两个问题：
一是变化率；二是增量。从微分概念进行学习，对后期理解导数概念、微分运算等具有重要意义。在理解微分概念上，其问题主要表现在：一是教师在教学中重视不足，往往与另一个概念“导数”相混淆，学生对微分概念的理解出现偏差，多存在模糊性。如有学生对dx的认识是变量还是常数都存在歧义；对微积分概念微分与积分过程的理解存在疑义。在实际教学中，对于两者概念的冲突，—表示为导数符号，而—表示为偏导数，两者在运算中易混淆；还有学生对极限、导数、连续性的理解缺乏全面性，因此在教学干预中要围绕常见问题来改进教学设计。在数学教学实践中，对于概念的认知至关重要，微积分概念的教学设计，应对微分与积分的差异性进行区分，微分多研究事物运动的瞬间改变量，而积分多研究事物在某一运动区间的改变量。如人的头发，微分研究的是瞬间生长量，而积分则是研究某一时段下的生长量。在运算方法上，减法产生微分，加法产生积分，微分与积分在运算上的对立与统一，对我们理解客观事物的运动变化，特别是研究事物瞬间改变量有用，而导数是研究事物的瞬间变化率，掌握以上方法，学习这些概念就容易了。以具体课例来讲，对于菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》中的球体积（最大的）相对误差与量度得来的直径的（最大的）相对误差的关系，我们将之转换为直径为r0的球，在表面涂油漆，油漆的厚度为Δr，求油漆的体积。当然，在该题阐释上，学生能够从一次函数的增量近似代替三次函数的增量，从微分概念的理解中来简化运算。其解题方法为：ΔV=—π[r03+3r02（Δr）+3r0（Δr）2+（Δr）3]-—πr03=AΔr+o（Δr）。同样道理，对于物理学中的自由落体运动，S（t）=—gt2，在计算位移的增量时，ΔS=gt0Δt+—gΔt2=AΔt+o（Δr）；可以将之与S=v0t+—gt2进行联系，将A与速度v0联系，将Δt2与联系o（Δr），进而获得ΔS≈dS=S"（t）Δr。由此得出，对于微分概念的理解，其原意为“差”，而微分在表示函数增量的近似值，当误差Δx高阶无穷小时，则函数是可微的。
四、结语
对于微积分概念教学设计，要从学生的常见理解错误中进行梳理，特别是对微分的几何意义进行梳理，它尽管与切线有关，但无法从中正确理解哪个量可以表示微分，更不能将微分理解为函数在某点切线的增量；通过对微分概念实例的学习，让学生从中构建微分概念意向，能为后面所学的积分、凑微分、微分方程等奠定基础。
参考文献：
[1]高雪芬，鲍建生.大学生对微分概念的理解及认知方式分析[J].数学教育学报，2013，（1）：40-43.
[2]徐章韬.曲线系：从知识点还原到研究工具[J].数学教学，2012， （5）：17-18.
[3]卢 磊，许建强.案例教学法在工程数学教学中的应用[J].教育教学论坛，2014，（51）：156-157.
[4]王彦华.运用构建主义思想提升微积分教学的有效性[J].数学学习与研究，2012，（3）：15-16.