沈阳市 2012 年待评名师
网培环节作业：教学反思
平方差公式（一）教学反思
北京师范大学出版社 数学 七年级 下册 第一章 整式的运算
初中数学 张鑫
沈阳市第五十中学
二○一二年六月
平方差公式（一）教学反思
北京师范大学出版社 数学 七年级 下册 第一章 整式的运算初中数学 张鑫（沈阳市第五十中学）
一、总体情况反思
从总体上看， 本节课教学实现了既定的教学目标。
通过本节课的教学，学生们经历了探索平方差公式的过程， 学会了推导平方差公式，进一步发展了分类讨论思想、换元思想，归纳能力和公式意识、符号感以及推理能力得到了提升， 能运用平方差公式进行简单的计算和推理。学生们始终能够以积极的情感和态度参与学习活动， 主动与教师和同学进行交流。而且，通过引导学生进行观察、分类、推理等活动突出了获得平方差公式的重点； 借助小组讨论、 班级展示突破了如何确定对整式乘法的分类标准并恰当地进行分类这一教学难点。
从课堂反馈测试的效果来看：
课堂反馈测试题 1. 计算：（1）(5+6x)(5-6x)；（2）(-m+n)(-m-n).
课堂反馈测试题
2. 计算：（1）(ab+c3)(ab- c3)；
（2） ( 1
x
y)(
1
y)；（ ）
4
x
3 (m+n)(m-n)+ (m+n)(m+n).
4
这些题目由易到难排布， 意在考核学生对平方差公式的运用，
其
中：第 2
题的（ 3）意在考核学生对平方差公式的识别，也在为下一
节完全平方公式的教学预留伏笔。当堂测试的统计结果是
85.7%的学
生全部做对，没能得满分的学生中，第 1 题的两个以及第 2 题中的（3）都做对了，表明这些学生也完全掌握了本节课的教学内容， 而且能够准确识别平方差公式的应用范围。
这部分学生的错误集中在第 2 题的（1）与（ 2），他们没能很好地处理幂的乘方和积的乘方，其错因虽
不属于本节主干知识， 但也属于应用平方差公式时的易错内容， 应予以强化。
课堂反馈测试题 3. 如果 ( x+ay)( x+by)= x2 - y2，那么 a-b=______.
此题意在考核学生分类讨论的数学意识。
51.4%的学生答对了。说明通过本节课的教学， 这部分学生的分类讨论意识得到了进一步的发展，也是教学难点得到突破给学生带来的学习能力的提升。而且，这部分学生在后续的学习中很容易“变身”为“小老师” ，促进其余学生的转化。
同时，没能答对的学生也表明数学学科素养的培养绝不是一蹴而就能够“速成”的，需要长期不懈的引导才能培养获得。
在课堂上学生们阐述了上述错题的正确解答过程后， 教师在自习
课上又特别针对上述题目进行了下面题目的考核， 学生们的过关率为
100%。
课后针对性测试题
1. (m3+2xy)(m3-2xy)；
课后针对性测试题
2. (2x
1 y)(2x
1 y)；
3
3
课后针对性测试题 3.(______)(______)= x2-9.
解答第 3 题需要分类讨论， 答案为：( x+3)( x-3) 或(- x+3)(- x-3).
小结：教学目标的实现， 主要得益于课前的教材分析和学情分析准确到位、教学环节设计符合学生的认知规律。事实表明，只有深入的教材分析才能实现对教材的驾驭； 只有充分的学情分析才能更好地明确学生的认知水平， 才能准确地为学生量身打造学习的素材、 明晰知识生成的脉络。
二、能力培养反思
（一）分类讨论思想与归纳能力的培养
分类讨论思想是指在所研究的各种对象之间过于复杂、 涉及范围
比较广泛，或是问题中的条件、结论不明确、题意中含参数或图形不
确定，以及在解决一个问题无法用同一种方法去解决时， 把所有待研
究的问题根据题目的特点和要求按不同情况分类来解决的数学思想。
分类讨论思想的实质就是将整体问题转化为部分问题来解决， 分类讨论的原则是不重复、无遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意对讨论的结果进行综合，以使解题步骤完整。
平方差公式是整式乘法中的一类特殊题目的抽象模型， 体现的是从一般到特殊的认知方法。
从认知过程分析， 应该由学生从前面学习过程中计算过的大量整式乘法的题目中 “剥离” 出平方差公式这种特殊的形式，这就需要对前面的题目进行分类讨论。
本节课的教学是分两步走的。第一步是“规律探索：整式乘法的分类” 。结合学生们在学习整式乘法的过程中积累的各个类型、 丰富的题目， 以卡片的形式展现在实物投影台上， 让学生以小组讨论的方式确定分类标准， 进行类型分类。第二步是“探索平方差公式” 。教师引导学生通过小组合作将前面分类得到的 “2×2”多项式乘法中算式与结果最特殊的那一类由简到繁地进行排序归类， 更利于揭示平方差公式的数学模型， 培养学生的数学建模能力，增进学生的符号感，进而生成符号公式，再翻译成文字公式促进理解。
在本节课的分类讨论过程中， 教师不限定学生的分类思路， 集思广益，培养学生的分类思想， 同时最终将分类标准指向从一般到特殊
——平方差公式的类型，锻炼学生的观察、归纳能力。另外，归纳也是一种推理的方法，由一系列具体的事例概括出原理——平方差公
式。能使学生的感性认识升华到理性认识， 既可锻炼学生由具体到抽象的思维能力， 培养学生数学语言的表达能力， 也有利于培养学生严谨的逻辑思维品质。
而且，利用多项式乘法推导乘法公式对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义， 尤其是为完全平方公式的学习提供了方法。
小结：分类讨论思想的培养， 必须给学生提供足够分类使用的素材，素材要有广泛性；分类的标准要由学生自己说了算，不能由教师强加。本节课，就出现了有的学生针对教师提供的学生们前面学习过程中所做的各类整式乘法按计算正确与错误进行了分类， 虽然对本节课生成平方差公式无益， 却也是学生难得的自我生成。
归纳能力的培养需要引导学生按照认知规律， 将同类事物由简到繁排布， 从中发现并提取本质的东西来进行高度概括。
（二）换元思想的培养
平方差公式的最大特点是结构的不变性和字母的可变性的对立
统一。由于学生升入初中以来第一次系统地学习公式， 公式中字母的高度概括性、 抽象性以及广泛应用性和换元思想， 导致学生在运用公式时认清结构存在一定的思维障碍， 是本节的难点， 也是学生运用公式解决实际问题的最大障碍。
本节课的教学过程采用了通过让学生自主编题——组间互考的
形式进行了公式运用的变式训练。 学生编题的过程就是对公式中的字
母进行换元的过程， 由学生亲手丰富了运用平方差公式的类型， 在互判后的互评环节阐述运用平方差公式的注意事项， 丰富了对换元思想的体会。激活了学生的主观能动性、提升了学生的思维深度，既促进了学生对平方差公式的结构特征的认识， 更促进了学生对公式中字母的深入理解。而且，通过接下来设计的“快速竞答”环节，教师给出了下面 6 个多项式乘法的题目让学生快速判断是否能够应用平方差公式进行简化运算， 这种变式训练更进一步加深了学生的运用换元思想的意识。
1）(x+y)(-y+x)；（2）(pq+1)(-pq+1)；（3）(m+n)(n-p)；
4）(-2xy+z)(-2xy-z)；（5）(p+q)(-p-q)；（ 6）(x2-3mn)(3mn+x2).
小结：换元思想的培养， 发动学生编题以及变式训练都是十分有
效的好方法应予以坚持。
（三）公式意识的培养
平方差公式本身并不是数学的骨干知识， 学生即使不会， 也可以
运用整式乘法法则进行相关的计算，但公式意识却是数学的骨干素
养，也就是让学生通过平方差公式的探索过程， 明确数学公式的生成过程，会“制造”数学公式，这才是本节课教学的核心能力。公式是指在自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子。具有普
遍性，适合于同类关系的所有问题。例如表示矩形的面积 S 和它
的长 a、宽 b 之间的关系的公式为 S=ab。公式具有通用格式，在
数学领域是指用数学符号表示各个量之间的一定关系 ( 如定律或
定理 ) 的式子。整式的乘法浩如烟海， 类似题目的运算让人心烦的同
时，却也萌生了将题目中隐含的规律总结提来的想法， 进而提高运算的效率。通过本节课的学习， 让学生在数学活动中建立平方差公式模型, 感受数学公式的意义和作用。
在归纳得出平方差公式的过程以及课堂小结时， 教师都有意引导
学生体会对公式的理解——公式具有简洁、 高效、广泛的适用性等特
点，通过例题、巩固练习进一步强化公式的效用，让学生体会归纳公
式的必要性，并促其形成归纳公式、运用公式来提高学习效率的意识。
尤其是在课堂小结时，让学生思考“以往的学习中，你有过发现公式
的经历吗？”，通过对七年级上册探索规律的内容的回顾强化了勾起
了学生当初经过生 “观察——思考——猜想——验证——运用” 的生
成公式的过程的回忆。
平方差公式是用公式来描述多项式乘法的一个
规律。由此传递给学生：广为认可的规律就称为公式，未经公认的正
确的规律自己用来提高解题效率。例如解方程常用的移项也是公式；
由
1
1
1
1
1
1
1
1
，
，得到公式：当
n 为正整数时，
2
-
2
3
6
，
-
3
4
3
3
4
12
1 -
1
n
1
1)
，并由此得到 1
-
1
1
1
。
n n
1
(n
99
100
99 100
9900
在课堂小结时，教师引导学生思考“公式有怎样的作用？” “以
往的学习中，你有过发现公式的经历吗？提炼的公式起到了怎样的作
用？”以及配合课堂结束语：随着学习的深入，集合班集体所做过的
题目，终于发现了一个整式乘法的“小诀窍”形成了平方差公式，数
学很奇妙，明天的发现之旅会有怎样的收获呢？期待中 。 这既是
教师对公式意识的强化，也是对学生学习能力提升的期待。
小结：平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果， 是构建
学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容。 公式也
泛指可普遍应用于同类事物的方式方法， 不单单是数学， 其它学科以及生活中的很多事，都需要我们不断的去找小窍门。
三、教学模式反思
本节课的教学， 教师采用的是问题驱动、 合作探究知识框架化教
学模式。以问题驱动学生经由独立思考——合作探究——班级展示为
明线，以知识框架化为暗线推进课堂教学进程。 侧重由学生在学习情
境下自主发现问题——提出问题——探究问题——解决问题。 让学生
在独立思考的基础上， 带着成熟程度不同的思考结果投入到小组合作
探究之中去，形成共识后在班级进行展示、组间质疑解惑，从而让问
题的圆满获得解决的同时， 让问题走向深入，使课堂学习效益最大化。
“知识框架化” 是对学生学习策略和解题策略的培养。
知识框架化是基于建构理论， 通过引导学生将每节所学的知识进行高度浓缩提炼，挖掘“新知”与“旧知”间的横向关系和纵向联系，构建起知识体系的框架（如图 1），更好地将所学知识内化，借此提升学生学习能力、形成良好的学习策略。
1
通过课前的复习回顾 “我们上节课研究了怎样的知识点？其知识支撑是什么？” 在不断的追问中形成这一阶段整式乘法完整的知识体系、梳理成知识框架，为本节课对以往所学多项式乘法进行分类讨论、
进而为找寻特例铺平道路做好了知识体系的支撑。
在课堂小结时， 教师通过问题 “我们是如何获得平方差公式的？” 来引导学生对本节课的学习过程与学习结果做进一步的提炼，进而生成新的知识框架图（如图 2）：
2
通过问题 “每个公式都有其适用范围， 运用平方差公式有哪些注意事项？”来引导学生回顾、提升解题模式：将面对的题目努力地与
新知框架的节点、 例题、曾经解决过的问题建立联系， 进行类型识别，进而将面对的“新问题”转化为已学的新知、例题，不断地将“新
知”、“新问题”纳入到学生已有的知识体系中， 潜移默化地灵活运用化归思想建构新的知识、题型框架，提高学生的解题能力、形成良好的解题策略。
将学习策略与解题策略整合起来（如图 3），必将全面提升学生的学习能力和学习水平。
3
小结：发现问题比解决问题更重要。要善于激活学生的思维，唤
起学生强烈的求知欲望， 促进学生主动发现问题， 以问题驱动学习的
深入；学会合作，让学生在探究合作交流的过程中，展示思维过程，
实现数学知识的再发现、再发明，进而提升学习的效率和效果；借助
知识框架化体现数学活动是学生自己建构数学知识的活动， 教师起到
引导学生进行有效建构数学知识的指路人的作用， 基本不限定学生的
思路。学生回答问题基本上是一生对多生， 而不是一生对一师的模式，
增加了学生之间的交流机会和信息量。
四、亮点、意外收获与不足
亮点
1）全面落实课程目标，能够以学生为中心而不是以知识为中心确定教学目标、 对教材内容进行取舍； 能够从学生已有的知识基础
而不是本节新知设置教学的起点； 能够遵循认知规律， 注重题目的难易搭配、坡度设置合理。题型丰富、注重变式训练；注重设计突破难点的途径；注重板书设计；注重课后作业的设计，为下一课时的教学起到很好的铺垫作用；能充分利用各种教学资源为教学服务。
2）教学过程中十分注重加强学法指导，关注对学生的能力的
培养而不是知识的传授——将课堂教学的立意定位于发明公式， 而不是运用公式，力求打造善于发现美好事物的眼睛；角色定位准确，发挥“问”的作用，调动学生“问”与“答”；坚持引导学生借助知识框架形成学科知识体系； 注重联系生活实际，让数学知识为生活服务。
3）能够关注每一名学生，尊重学生间的个体差异，注重用学生个体间的差异来丰富课堂认知氛围；采用多种方式激发学生的兴趣、创设问题情境为学生创设发现之旅；关注学生的参与度，注重课堂气氛的调整， 注重和谐的学习氛围的营造， 注重对学生学习积极性的调动。
意外收获
1）逆向思维突破常规。
学生们在自主编题组间互考的环节中，
不仅顺利地解决了换元思想的运用，还能通过逆向思维命制出2001
1999=（2000+1）（2000-1 ）=20002-1 2=3999999 的题目。由此可见，让学生编题自主命题互考应予以坚持。
2）数形结合思想水到渠成。
学生们在解决“把一块长为 x 米的正方形土地的一边减少 6 米，另一边增加 6 米，土地的面积是否发生了变化？请说明理由 . ”这一问题时，能主动在头脑中或是草纸上
构建出相应的图形，并采用平方差公式这一代数模型解决几何问题。
不足
1）放手让学生自主学习的教学过程中， “放”之后“收”的技巧还有待进一步提升。
学生间的个体差异特别大， 这种差异既是一种资源，有时也是推进教学进程的一种障碍。
应该在确保班集体大部分学生正常学习的前提下， 适当兼顾思维超前、 滞后、偏离主线的学生，可以采用课下个别辅导、小范围辅导的手段解决他们所提出的问题。
2）学情分析还不够细，没能细到学生能否选用教师预设的方式进行学习。对整式乘法进行分类讨论时，学生个体间的差异巨大，得到有利于发现平方差公式的分类标准颇为周折。
应该在确保不限定学生思路的前提下，通过营造更为具体的情境引导学生的自主学习。
3）发动学生自主进行“设问”的教学技术还有待提高。应该在教学中充分营造“问题氛围” ，激活学生的思维，最终实现“学生自主提出问题——学生自主解决问题” 的课堂教学状态， 促进学生学会学习。
4）给学生提供的展示机会还有待提高。尽管有自由发言、有各组代表讲评等活动， 当仍然有半数左右的学生得不到在班级展示的机会。拟在日后的教学中增加静态展示环节， 以提高学生们展示的机会。
5）把握“师引生学”分界线的能力有待提高。尽管已经坚持着“学生能做的教师不做，学生做不了的，教师才引导学生去做”的基本教学原则，但对于课堂上瞬息万变的教学“战机”的把握、灵活
处理还都需要不断地丰富经验。
6）小组合作学习的效率、效果有待提高。小组合作学习的时机、时段、难度控制都有待进一步提升，组内各个成员的作用以及学习水平相对超前和滞后的学生在组内的作用的发挥还需通过实践、 理论学习、广泛借鉴加以提升。
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