大约公元前400年前后，古希腊的毕达哥拉斯学派，行将拉上帷幕。然而，毕达哥拉斯学派，在数学上留给后人的成就，无疑是重要的，也是伟大的。毕氏学派最先认识到，数学的对象，应该首先研究抽象的概念，认为了数与图形是抽象的思维。
毕氏在研究数与图形的关系中，最为得意的是发现了直角三角形中，边与数之间的确定关系，即毕达哥拉斯定理（勾股定理）。这个定理堪称是数与图形的完美结合，由此，进一步发现了：在直角边可以公度的等腰直角三角形中，斜边与直角边两者不可公度，即等腰直角三角形斜边的长，是无理数。无理数的发现与证明，历史上归功于毕氏学派中的数学家希帕索斯（Hippasus,公元前500年左右）先生。毕氏学派的这一发现，直接导致了第一次数学危机的发生。 这个关于无理数的证明，是发生在公元前500年左右的古希腊，是用毕达哥拉斯定理（勾股定理）证明的。而毕达哥拉斯定理是文明的人类社会中，一个必不可少的重要定理。毕氏学派的关于无理数证明，当时采用了反证法（归谬法），具体如下： 在等腰直角三角形中，设斜边为α；直角边为β。若斜边与直角边两者可以公度，那么，有α/β，并且α/β是既约分数。于是，根据毕氏定理，有α2=β2+β2=2β2。 因为α2是偶数，所以α是偶数，可以设α=2γ。因为α/β是既约分数，所以β是奇数。因为α2=4γ2=2β2，所以2γ2=β2，于是得知β2是偶数，所以β是偶数。 一个数β，它既是偶数，同时又是奇数，这就自相矛盾了。所以，等腰直角三角形中的斜边不可公度。于是，无理数得到了证明。 证明的过程是如此的简单明了，无懈可击。可是，虽然无理数的存在，被证明了，但是，当时的人因此而困惑。因此而改变了对世界的认知。然而，人们并不因为困惑而停止了研究。而是因为困惑，积极地去思考这样的一个问题：数与数之间到底是离散的，还是连续的，以及离散与连续的关系。有关这些问题的思考，是二千五百年前古希腊人提出的，并且还提出了认识这些问题的各种途径，关于这些问题，以及由这些问题而引伸出的无数课题，直接影响着人们的思想，尤其是认识论方面。当然，关于这些问题，在当时没有圆满的结论，直到现在，也没有圆满的结论，人类与人类的思辨共存。 大约在公元前300年前后，约二千三百年前，古希腊的欧几里德先生（Euclid,古希腊人，约公元前330年—前275年）登场了。人们对于欧几里德先生的生平，并不详细。据公元5世纪的希腊人普罗克洛斯（Proclus，公元410——485年）记载，欧几里德先生是在柏拉图（Plato，古希腊人，公元前427——347年）的学院中读的书。柏拉图学院是一所，约二千四百年前开办的综合性学校，是慈善基金开办的免费学校。欧几里德总结了前人的数学，并且在前人的基础上，从几何出发，建立了一套逻辑演绎推理系统。欧几里德先生的这套系统，后人称之谓欧几里德几何，简称欧氏几何。 欧氏几何除了若干个定义以外，由5个公设，5个公理为基础。公设与公理的区别，亚里士多德（Aristotle,古希腊人，公元前384——322年）先生认为：公理适用于一切科学的真理，公设只应用于几何。 于是，问题来了。在欧氏几何的5个公设中，其中第5公设看起来不是很一目了然，似乎有点像定理。欧氏几何的第5个公设所述：若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。这就是俗称的欧氏平行线公理。 自从欧氏几何问世后，其中的第5公设受到了普遍的争议。争议的焦点是：（1）假如是公设，那么不是很一目了然，（2）假如是定理，那么，一定可以用其它公设和公理加以证明。遗憾的是，人们二千多年来，试图了种种尝试和努力，其证明的结果统统以失败而告终。以致有人怀疑第5公设，是欧氏为了欧氏几何，而自己搞出来的，如果这是真的话，那么欧几里德先生太了不起了，其实，欧几里德先生确实了不起。 欧几里德先生在二千三百年前，把我们眼睛所见的物质世界及其联系，思想了用逻辑演绎推理的方法表达出来，这就是所谓的欧氏几何。欧氏几何也就是我们在中学里，所学习的平面几何和立体几何。 可是，在我的中学学习阶段，尽管学到一些有关点、线、面、体等之类，几何中的一点点皮毛知识，而对于在二千三百年前，世界上还有一个名叫欧几里德的人，却是全然不知的。后来，当我的父母偷偷的小心翼翼的将欧几里德，以及欧几里德对人类所做的贡献，告诉了我后。我在上海的旧书店，福州路旧书店里的一个角落里，找到了一本国人翻译编写的欧氏几何书，并且买回家来自学。可以说，在我进入系统学习纯粹数学和物理数学之前，我的全部数学和物理学的知识，基本都是通过自学获得。所以，我真诚地对我的后代说，要珍惜每一次的学习机会。当然，这是题外话了。 然而，第5公设的问题，在19世纪高斯先生（Gauss,德国人，公元1777——1855年）、罗巴切夫斯基先生（Lobatchevsky，俄国人，公元1793——1856）等人登场之前，始终是个问题。欧氏第5公设的问题在于：这个公设与诸多的命题等价，例如（1）三角形内角之和等于两直角，即180度；（2）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；同旁内角互补，等等。也就是说，欧氏第5公设是欧氏几何中的一个命题，一个独立的命题，这个命题，可以由其它的命题来证明，例如：由罗巴切夫斯基先生所给出的几何，来加以证明，是罗巴切夫斯基几何的特例，因此不应该是公设。并且，在罗巴切夫斯基几何中，三角形内角之和恒小于两直角。高斯先生也认为三角形的三个顶点无论取多么长，它的面积可能永远小于一定的极限，也就是说，三角形的边长不断的增加，其内角之和将减少。由此，建立起了没有欧氏第5公设的几何。后来，人们把没有欧氏第5公设的几何，称之为非欧几何，这是因为欧氏第5公设是欧氏几何所必须的。 人们就是这样的思想，这样的坚忍不拔，这样的前赴后继。经过了二千一百多年的努力，到了19世纪，终于搞清楚了欧氏几何关于第5公设的疑问，人们最终认识了平行线公理，争论也就此结束。并且，由此而诞生出了非欧几何。从此，人们从一个新的高度，来观测世界，来认识我们所处的宇宙空间。这是因为，在非欧几何出现之前，人们普遍认为，眼前的物质世界和宇宙空间，等同于欧氏几何。现在，19世纪非欧几何的出现，人们改变了这一看法。所有这一切的认知与发展，最终导致了20世纪初，爱因斯坦（Einstein，德国人，公元1879——1955年）相对论的诞生。 古代中国的孔子先生（春秋鲁国人，公元前551——479年），在二千五百年前的东方，建立了一所具有规模的私立学堂。这所学堂的性质，与相近时期古希腊的柏拉图学院类似，类似之处在于，前来读书的学生，可以是无条件的免费。可是，孔子学堂除了教授人文哲学之外，没有自然哲学和科学。虽然师生们也善于思辨，但不完全，因为少了自然哲学和科学，不免显得苍白无力。因此，我以为，这是一个缺损，由于这个缺损，使得公元前西汉朝的董仲舒（公元前179——104年）有机可乘，可以轻而易举的建立董仲舒的儒家学说，汉武帝也因此可以轻而易举的罢黜百家，独尊儒术。从此，国人逐渐丧失了自先秦以来，仅剩的一点思辨能力，更不要说批判精神了。国人对于宇宙的认识，也仅局限在了天圆地方之中。诸子百家只剩下了儒家，况且，这个儒家还是董仲舒们的。 人文哲学与科学，是人类文明发展的两大支柱。至于董仲舒的儒家学说，乃至以后发展出来的程朱理学，关于这些学问，对于国人的发展与影响，仁者见仁，智者见智。不过，我想，一个依靠其他人的贡献的人，是挺不起胸堂的，哪怕你腰缠万贯。 二0一二年四月 赞 (散文编辑：可儿)