我国自20世纪90年代引入“反思教学”以来,在基础教育各学科进行了一系列的理论与实践研究。新课程的实施,需要教师不断反思自己的教学行为是否体现新课程理念,是否有利于学生的身心发展。
每节课下来,反思教学过程,总感觉有些不如意的地方,需要进行改进。“学然后知不足,教然后知困”。这既是对学生说的,更是对我们教师讲的。一般来说,设计一个好的教学案例并非难事,难的是将好的课案变成好课。课案与课堂教学有机结合,新课程的教育理念与教学实践相融合。作为一线的高中数学教师,更多地要依靠教学反思,通过教学这一平台,进行教学活动,提升自己的教学水平。
等比数列前n项和公式推导的思维方法产生是一个教学难点。如何突破这一难点,在新课改教学理念的指导下,笔者试将这一问题交给学生讨论,取得了较好的教学效果。下面是其中的教学片段:
[导入新课]
师:国际象棋起源于古印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者。这个故事大家听说过吗?
生:知道一些。
师:“请在第一个格子里放上1颗麦粒,第二个格子里放上2颗麦粒,第三个格子里放上4颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子的麦粒数的2倍,直到第64个格子。请给我足够的麦粒以实现上述要求。”这就是国际象棋的发明者向国王提出的要求。
师:假定千粒麦子的质量为40g,按目前世界小麦年产量6亿吨计算,你认为国王能满足他的要求吗?
生开始各执己见,动笔、列式、计算。
生1:能列出式子:1+2+22+…+263=
师:这是一个什么样的问题?你们计算出结果了吗?同学们可以展开讨论与交流。
(有的同学用求等差数列前n项和的方法做尝试,但失败了。有的同学想把每项都算出来逐项相加求和,也失败了……一时,难以找到解题思路)
师:求和的过程,实际上就是设法减少项数,同学们不妨依此思路再想想看。(经过一番讨论)
生2:(迫不及待地)我知道了,设①S64=1+2+22+…+263
将①式两边同乘以2,得
②2S64=2+22+…+263+264
②-①即可减少项数,求出S64的值。
师:很好!请同学们按此方法做做看。
生3:老师,我做出来了,S64=264-1。
师:回答得非常好!264-1这个数很大,假定千粒麦子质量为40g,麦粒的总质量超过7000亿吨,目前世界小麦年产量大约6亿吨,因此国王无法兑现他的诺言。
师:国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺,导致一个很不幸的后果,这都是因为他不具备基本数学知识所造成的,这些知识即为我们本节课要探究的内容。
[推进新课]
师:同学们解决了这一具体的等比数列求和问题,那么如何得出等比数列a■的前n项和呢?
我们记③Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
生4:(胸有成竹地)将③式两边同乘以q,得
④qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn
③-④即可得到答案。
师:分析得不错!请同学们继续完成,并将你的结果告诉老师好不好?
生5:Sn=■
生6:当q=1时,上式不成立。
师:(顺势引导)当q=1时,是不是该数列不能求和?
生6:不是,当q=1时,数列a■为常数列,此时Sn=na1。
(师生共同探索)
考虑问题要全面,综合生5和生6的结果,我们有:
S■=■=■=■(q≠1) na1(q=1)
师:(总结)这种推导方法称之为“错位相减法”。
生7:(急切地举手)老师,还有别的求和方法吗?
师:问得好!我们求的是等比数列的前n项和,请同学们继续讨论、交流。
(经过几分钟的思考,有学生举手发言)
生8:利用等比数列的定义,得⑤■=■=…=■=q
又由等比性质,得⑥■=q
将an=a1qn-1代入⑥,得
⑦■=q
师:⑦式是一个恒等式,显然得不出前n项和公式,谁能完成?
生9:将⑥式改写成⑧■=■=q
解得Sn=■(q≠1)
师:回答得非常精彩!
反思等比数列前n项求和公式的推导,我看到学生的潜能所在。同学们能从一个具体的求和问题,推广到一般情形。使重点、难点得以突破,这是我课前所未想到的。当用方法1推出求和公式后,处于兴奋状态的同学们,不满足于现状,进而探求新的方法。我因势利导,出现了方法2。从学生身上我看到教学改革的成效,只要大胆地“放手”给学生,为学生创设宽松的学习环境,提供多渠道获取知识的机会,凭借自己已有的知识和经验对新的问题情境进行建构。方法2学生利用自己已经学习过的等比定理推出求和公式,这两种不同的思路是学生从自己已有的知识和经验出发,在老师的组织下完成的。
课堂教学是新课程实施的基本途径,是教师进行课程参与,实现专业化发展的重要渠道。“一切为了每一位学生的发展”是新课程改革的核心理念。教师应该积极关注和引导学生在教学过程中的各种道德表现和发展,使教学过程成为高尚的道德生活和丰富的人生体验,提高教学的人文价值,培养学生的应用能力,发展学生的创新意识。
课例《等比数列的前n项和公式推导的教学反思》正是基于这个理念而设计的,本人运用“以问题为中心”的讨论发现法进行施教,围绕这一主线——学会用数据说话,将具体实例抽象成一般情形,培养学生应用数学的意识及创新能力。
从教法与学法、教学设计与反思等几个方面进行剖析,从整个课例可看出,新课程改革的理念在本人的教学中得以全面实施。表现在以下几个方面:
1.让学生经历知识的形成与应用过程
执教者运用“问题情景—合作讨论—理性概括—反思提高”四个环节展开教学活动,让学生亲身经历知识的形成与应用过程,课例从一个身边的故事开始,导入新课教学,让学生体会教学的价值,增强学生应用数学的意识,课例的字里行间,弥漫着学生的积极思维,构建等比数列前n项和公式的探求过程。
2.突出学生自主探究与合作交流
有效的数学教学过程,不是单纯地模仿与记忆,教师应引导学生主动地观察、猜测、推理、合作与交流等数学活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。本课例中,教师仅扮演了引导、点评的角色,将教学活动的主动权交给了学生,学生成了学习的主人。
3.注重对学生发现问题、解决问题能力的评价
不会赞美学生的老师不是好老师,赞美是学生创新精神和能力培养的生长剂。本课例中赞美艺术的运用体现得淋漓尽致:“很好”“回答得非常好”“分析得不错”“回答得非常精彩”这些富有激情和赞美的话语,拉近了师生之间的距离,增强了学生展示自我、各抒己见的信心和勇气,活跃了课堂气氛。
这节课我发挥了组织者、指导者的作用,而学生是实实在在的主体活动者,在同学们的共同研究中,他们的思维在交流、启发中得以激活,从而使这节课在热烈的气氛中进行,学生获得了情感上的经验和知识上的补充。
参考文献:
[1]熊川武.反思教学.上海:华东师范大学出版社,2000.
[2]郭霞.对中学数学教学的几点反思.中小学数学.2008.
[3]任志鸿.高中数学优秀教案.海南:南方出版社,2006.
作者单位:安徽省滁州市乌衣中学