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西南大学附属中学校高 2019级第四次月考
数学试题（理）
第I卷（共60 分）
、选择题：本大题共12个小题
、选择题：本大题共
12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,
只有一
1.设集合A x
2 x
x
6
0 , B n Z
1
n 3，则 AI B (
A. 0,1,2
B
.
1,0,1 C .
0,1 D
1,0,1,2
2.卜列说法正确的是（
)
A. “ f
0 0 ”
是“
函数
f
x是奇函数”的充要条件
B.样本的相关系数r
,
-越接近于1，线性相关程度越小
C.若p
q为假命题,
则
P
q均为假命题
D. “若
一，则 sin
1
”的否命题是“若
—，则 sin
1 ”
6
2
6
2
3.等比数列 an
中,
印
a2
40, ag a4
60
，则a7
as (
)
A. 135
B
.
100
C . 95 D
.80
r
r
r
r
r r r
4.已知a
扌2 ,
a
b
a,
2a b b，则 1
b (
)
A.血
B
1
C.
2^2 D
.4
5.已知定义在R上的函数
f
x 2 ",记 a
f
log。/
,b f
log2 5 ,
大小关系
是（
)
A. a b c
B
.c
b a C.
a
c b
D
.b a
项是符合题目要求的.
）
c
6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是
）
c f 0，则 a、
4035，则(2018A. a 2016 B . a 2017
4035，则(
2018
A. a 2016 B . a 2017 C.
2018 D
2019
7.设曲线y x2及直线y 1所围成的封闭图形为区域 D，不等式组
x 1所确定的区域为
y 1
E，在区
域E内随机取一点，则该点恰好在区域
D内的概率为（
8.已知
8.已知 f x 2sin x cosx ,
x的最大值为f ，则cos （
TOC \o "1-5" \h \z A 2罷 a 2亦 Q 后’ V5
A. B . C. D
5 5 5 5
某个班级组织元旦晚会，一共准备了 A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只
能排A或B，最后一个节目不能排 A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种
A. 72 B . 84 C. 96 D . 120
若函数f x x3 ax2 bx c有一个极值点为 m，且f m m，则关于x的方程
2
3 f x 2af x b 0的不同实数根个数不可能为（ ）
A. 2 B . 3 C. 4 D . 5
2 2
已知双曲线E:令占 1的左、右顶点分别为 A、B , M是E上一点，△ ABM为等腰三角形，且
a b
外接圆面积为3 a2，则双曲线E的离心率为（ ）
A.
2 B .
2 1 C.
3 D
? J
3 1
12.
已知函数f x
ln x 1 , g x
1
x
2e 2，若
f m
g n
成立，则m n的最小值是（
)
A.
1
ln 2 B
.e 2 C.
1 In 2 -
D
e 1
2
2
2
第U卷
(共90
分）
、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设1 i x 1 yi，其中x, y是实数，则2x yi
y x
14.设变量x , y
14.设变量x , y满足:
x 2
15.已知 f x Asin xA 0, 0,0
15.已知 f x Asin x
A 0, 0,0
的部分图象如图所示,
2
18
16.已知C 4,0 , P是抛物线E : y2 x上一动点，若以P为圆心，1为半径的圆上存在点 M，满足
CM 2，则P点横坐标a的取值范围是 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
已知数列
$n
的前n项和Sn满足：
3Sn 4$n 2.
(1)
求数列
$n
的通项公式；
(2)
设b
lOg 2
1
- ，求数列
$n gog 2 $n 1
bn的前n项和Tn .
18.
某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取
100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状
态下进行“停车距离”测试?测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”
（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离） ?无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表 1
和表2.
表1
停车距离d （米）
10,20
20,30
30,40
40,50
50,60
频数
24
42
24
9
1
表2
平均每毫升血液酒精含量 x毫克
10
30
50
70
90
平均停车距离y米
30
50
60
70
90
回答以下问题.
（1）由表1估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数;
（2） 根据最小二乘法，由表 2的数据计算y关于x的回归方程$ bx $；
（3） 该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离” y大于（1）中无酒状态下的停车距离平均数
的3倍，则认定驾驶员是“醉驾” ?请根据（2）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时
为“醉驾”？（精确到个位）
（附：对于一组数据 x1, y1 , x2, y2，…，xn, yn ,其回归直线$ $x $的斜率和截距的最小二乘估
n _ _
X% nx y _ _
计分别为$匕 ,$ y $X）
2 _2
X nx
i 1
19.已知函数 f x sin x^in x —
（1 ）求f x的对称轴所在直线方程及其对称中心;
A /3
(2 )在厶ABC中，内角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c,且f , a 4，求△ ABC周
2 2
长的取值范围.
2 2
b 0的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为2.6，顶角为120o的等
b 0的两个焦点与短轴的一个顶点构成底边为
2.6，顶角为120o的等
20.已知椭圆C : 2 1 a
a b
腰三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设 A、BP
(2)设 A、B
P是椭圆上三动点，且
uuu
OP
1 ULW
"ioOA
3 uuu
—3=0B，线段AB的中点为Q ,
10
D 0,-，求
2
DQ的取值范围.
21.函数 f x ex x a, a R.
(1)求函数y f x的单调区间及极值;
(2 )若为,X2是函数y f x的两个不同零点，求证：① 为 X2 0 :②为 X2 2 1 a .
TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .
选修4-4 :坐标系与参数方程
x 1 t
已知平面直角坐标系 xOy中，过点P 1, 2的直线I的参数方程为 (t为参数)，|与y轴交
y 2 t
于A，以该直角坐标系的原点 O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系?曲线 C的极坐标方程为
2
sin mcos m 0，直线I与曲线C交于M、N两点.
求曲线C的直角坐标方程和点 A的一个极坐标；
uult uuuu
若PN 3PM，求实数m的值.
选修4-5 :不等式选讲
已知函数f x |2x 1 |x 1.
(1 )对 x R，都有f x x m恒成立，求m的取值范围;
(2 )设不等式0
(2 )设不等式
0的解集为A，若a,b A，求证:
ab
4
试卷答案
1-5:BDACD
6-10:BCCBA
11
、12: CA
二、填空题
13. 5
14.
8
15.
2乔
16
三、解答题
17.解：（1）
3Sn 4令
2
①
当n 1时，
3a1
4a1 2
,? a1
2
当n 2时，
3Sn
1 4an 1
2
②
由①-②得：
3an
4an 4an 1
?- an是以
6
2为首项，
公比为
4的等比数列
、选择题
1
1
1
(2) 飞
7 .21 7 ,21
18.解：（1）
(2) x 50
log2 an log2 an 1 2n 1 2n 1
15 24 25 42 35 24 45 9
100
回归方程为y
（3）由题意知:
y 60
0.7x 25
0.7x 25 27.1 3, ? x 80.4
?预测当每毫升血液酒精含量大于
19.解:
丿3 . 2 —sin
2
由2x
由2x
(2 )法
12
2 2n
55 1
2n 1
2710
100
27.1
80毫克时为“醉驾”
1 . sin xcosx
2
2 ?f x的对称轴方程为
,? f x的对称中心为 一
6
sin A —乜,
3 2
?/ A
0,
12
1第
1
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由正弦定理得：
b
e
a
4
.2 sin
3
sin B
si nC
sin A
△ ABC的周长范围为
8,4
83
法二：16b2e2 2be eos—3b2e2 be
法二：
16
b2
e2 2be eos—
3
b2
e2 be, ? b
be
16,
16
be
，得:
64
b, e 0 ,? b
8.3
3
8,3
3
20.解：（
20.解：（1）由题意,
tan 30°
e2
由 x1x
由 x1x2 4y1 y2 x； 4y1 0, x1 4y；
8，得 X1
2 ,? D 2,0 , DQ
?椭圆C :-—
8 2
(2 )设 A X1, y1 ,
1
B X2,y2 , Q X), y0 ,
uuu 由OP
1 uuu —OA
10
3 uuu -OB
.10
1
.10
X1 3X2, y1 3y2
2
X1
4y2 8
2
x2
4y； 8
，得：x-|X2 4yiy2 0
1
2
4
2
10
X1 3X2
10
y1
3y2
8
法一：当 AB的斜率不存在时， x2 X| , y2 y1
当AB的斜率存在时，设 AB : y kx m
y
2 X
kx m
4y2 8
得：
1 4k
2 x2 8kmx
4m2
8
0, 16 8k2 2 m2 0
X1X2
4y“2
0 得:
2 m
4k2 1 0,
此时
0总成立
又X0
x1 x2
4km
4k
kx0
m
1
2
1
4k2
，y0 m
m
综上:
1 1
1 且 0，/
m m
1
2
法二:
设AB中点Q x0, y0
设Xo
2cos
,yo
sin
则DQ
4cos2
21.解：（1）定义域:
令f x 0，则x
(2 )由
要使f
DQ
则Xo
2
3
sin —
2
7且DQ
在 ,0递减,
极小值
0,
25
4
% y?
2
2
3sin 3sin
ex 1
0，则 x 0
递增
无极大值
时，f
时,
x有两个不同零点，则
25
4
①证明：令g X
f X
f
x，则 g X f
x f
X
g x
在0,
递增而x2
0,
g X2 g 0
0
? f
X2 f
X2
0即f
X2
f
X2
X1,
X2
,0
且f X
在
,0
递减
? X!
X2 ,
即x1
x2 0
②证明
:令F
X
2 2x
xge
X
X
1 ,
下面先证明
F x
2 ,
X
1, F
X
4x 4
2
ge
2x
0,
? F x在
1,
递增
? F
x F
1
0 ,? F
X
在
1,
递增，?
F x
F
X2，
F
X2
X e
2 2 x
2 在 x 1 总成立， f x2 e2 x2 a
不妨设x1 0
即xge
sin
eX2
2x
X2
e2 2x 1
2 2a x2 a eX2 g2 2e' eX2 2
-e 2
又a 1
2 1
解：
(2 )将
解：
? g X
(2 )T
1 由 F x 2 知 exge'
1 a x2<0 且 Xi
X2
,0
X，即 x1
mx m 0
t代入y2
X2
3x
a1,2
2
mx得t
，…g x
上递减，在
1
—,0
2
上递增，当
a x2
递减
Xi
2x
2x
X 1时为常数
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