高中数学人教 A 版必修 5《等比数列前 n 项和公式》说课稿
课题：等比数列的前 n 项和
一、教材结构与内容简析 ：
《等比数列前n项和公式》是高中数学人教A版必修5中第二章第五节内容。
教学对象为高二学生，教学课时为 2 课时。本节课为第一课时。在此之前，学生 已学习了数列的定义、等差数列、等比数列、及其通项公式和等差数列前 n 项和 公式等知识内容 , 这为本节的学习起着铺垫作用， 而本节内容也是进一步学习数列 知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。本节课既是本章的重点，同时 也是教材的重点。
因为数列是函数的延续，有着承前启后的作用，并且它在生产生活中有着广 泛的应用，同时数列也是培养提高学生思维能力的好题材，所以《数列》这一章 在整个高中数学中也占有重要地位。
二、教学目标 根据上述教材结构与内容，考虑到学生已有的认知结构心特征，制定如下教 学目标：
1、 知识目标：理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导方法，公式的特点能 初步应用公式解决有关问题。
2、 能力目标：培养学生观察、比较、抽象、概括能力，并能灵活运用基本概 念分析问题解决问题。
3、情感目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强 意志和勇于创新的精神。
三、 教学重点、难点
本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点
重点：等比数列前 n 项和公式及应用
难点：等比数列前 n 项和公式的推导
四、教法分析
作为一名数学老师 ,不仅要传授给学生数学知识 ,更重要的是传授给学生数学 思想、数学意识，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然” ，因此本 节课在教学中力图向学生展现等比数列前 n 项和公式的推导过程，解题思想。在 教学中，我在以学生为主体，教师为主导的原则下，遵循学生的认知规律，体现 循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：应用多媒体课件，创设情 境，提问引导学生的思维，师生互动，小组讨论，反馈评价。让学生体会学数概 念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使学生有获取知识的满足感，和探索发现 的成就感。
五、学法分析 我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人” ，因 而在教学中要特别重视学法的指导。
要将学生的学习方法由被动，转化成主动，积极参与到探索，发现，归纳， 总结的活动中来，在培养学生的数学能力的同时，也培养了学生的团结合作的精 神。
六、教学过程
（一）、创设情境，引出课题
以古印度国际象棋的发明者西萨向国王所要小麦的故事为例，当国王计算出 结果后大吃一惊，为什么呢？西萨要的是多少粒小麦呢？对于国王来说竟拿不出 棋盘上的小麦？
引导学生写出计算小麦总数的式子 1+2+2+……+263，这个算式的值是多少
呢？根据教师的提问，以及学生对前几节课的掌握，很容易发现 1+2+2"+……+263
是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列的前 64项和。当学生跃跃欲试要求这个数列 的和的时候，课题的引入已经水到渠成。具体怎样去求和，就是本节课的重点内 容了。
由这个故事做背景，仿佛把学生带入了童话故事。这样引入的好处是：
1 、根据心理学，情境具有暗示作用，在暗示作用下，学生自觉不自觉地参与 了情境中的角色，这样他们的学习积极性和思维活动就会极大的调动起来。
2、 在实际情况下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验，解决问题，学 习新知，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。
3、 问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。
让学生带着解疑探索的心在 轻松的环境下学习新知，使数学不再枯燥。
（二）、新课讲解
1 、讲解实例、由浅入深
由学生的讨论可得S64=1+2+22+……+263记为（1）式，借助多媒体请同学们回 忆求等差数列前 n 项和的时候我们用的是“倒序相加” ，形式上是倒序相加，本质 上就是消去数列中项与项之间的差异，构造一个新的各项相同的常数列，然后根 据常数列的和导出 Sn 的公式来。
那么等比数列能不能也从这个角度来推导前 n 项和公式，怎样去消除各项之 间的差异呢？此时老师要将同学们从等差数列求前 n 项和的思维定势中带出来，
让同学们观察眼前的这个例子，各项之间有什么区别。学生会容易发现后一项都 比是前一项的 2 倍，（这时老师要借势提问，这个 2 是什么？学生答是公比。这 是为后面求一般的等比数列的前 n 项和做铺垫。）那么把每一项都乘以 2，就变
成了它的后一项，即2S64=2+22+23……+263+264记为（2）式，（利用多媒体演示） 这时发现，（ 1）式与（ 2）式产生了一个错位，那么怎样仿照等差数列构造出一 个常数列或部分常数列呢？
相加，显然不行，那么相减呢？同学们发现，若用（ 1） -（2）则有 S64=264-1， 这样难点便突破了。利用计算器即可求出其值。我们称这种求和方法为“错位相 减法”。
反思：为什么一定要乘以 2，而不是乘以其它的数字呢？这个问题的设立是 为了让学生知道，我们用的“错位相减”法的根源是为了构造相同项，构造常数 列，使其相减为 0。
2、类比思想 解决一般化问题 由上一实例的推导，学生的热度大增，此时老师再趁热打铁，引导学生讨论 一般化的结论。
设等比数列｛an｝，首项为ai,公比为q,如何求Sn? 由于将刚才的数字全部换成字母，一时间想求和，有些难度，此时我会引导
学生思考等比数列的概念,各项之间的关系,及通项公式,这样学生就会自主的 将特殊问题和一般化的问题联系起来。即将Sn=a+a2+ +an转化成
Sn二a+aiq+ +aiqn-1，记成（3）式，类比着刚才的推导，容易想到左右两边同乘
以公比 q,得 qSn二aq+aq2+ +aqn-1+aqn记成（4）式，于是（3） - （4）得（1-q） Sn= a1 （1-q n）, 以上均由学生来完成。然而，此时，便出现了一个难点，能否直接 将（1-q ）除过去，这也是学生平时做题易错的地方。要强调，这里的 q要讨论 此处一但点破，下面的问题便很容易得出，可以给学生两分钟的时间讨论，然后 由学生总结出结果。
推导完公式后，要将“倒序相加”和“错位相减”这两种方法进行比较分析： 这两种数列求和的基本思路都是构造常数列，构造常数列的思想也是其他一 些数列求和的基本思想。实际上，“倒序相加”也是一种“错位相加”，只不过 是大幅度的错位相加，而“错位相减”，则是幅度很小的一个错位。另外，在等 比数列求和过和中，两边同时乘以 q 是解决问题——构造常数列的关键所在。所 以，这两种数列的求和公式的推导方法， 从数学思想和数学方法上来讲是一致的， 但是它们也有差异，即错位的方法不同。当这些内容向同学们分析清楚之后，学 生就会在解决这一类问题上得到方法。学生的数学思维的深刻性、广阔性等思维 品质就得到了提高，思维品质提高了，思维能力也就提高了。这样，这节课的认 知目标和素质目标就基本上都达到了。
在此之后，根据等比数列的通项公式，请同学讨论，将等比数列前项和公式 的另一种形式推导出来，比较前后两种形式的差异，加深记忆，以便今后在做题 方面根据不同的已知条件，选取适当的公式。并能根据 a1, q,a n,s ,n, 中的三项，
求出另外两项。
另外，引导同学根据等比数列的定义利用合分比定理或根据通项公式运用整 体代入的思想，来推导等比数列的前n项和公式。这样不但可以发散学生的思维， 还可使学生对公式的理解更加深刻。
3、利用所学公式解决课前问题。代入公式可知，总共需要 1.84*10 19 粒麦粒。
大约是 7000亿吨，用这么多小麦能比从地球到太阳铺设一条宽 10米，厚 8米的 大道，而目前全世界的小麦总产量才约 6 亿吨，显然国王无法兑现他的承诺。
（三）例题讲解
本节课我只选用了一道例题，包括两个小题，如下:
例1求下列等比数列前8项的和
(1)⑵111
(1)
⑵
2'4? ；
1
ai - 27, a9 , q ：：： 0
243
例题选取的依据：
例题与大纲中规定的重点与难点有联系，利用到的均是本节课的基础知识，
又有稍微的变化，锻炼学生做题的灵活性。
能力训练
练习选取课后练习，如下：
1根据下列各题中的条件，求相应的等比数列 CaJ的前n项和Sh
a1 =3,q =2, n =6;
1 1
印=—2.7,q 耳
3 90
2、如果一个等比数列前5项的和等于10,前10项的和等于50，那么它前15项的和等于 多少？
此练习与本节课内容对应，由易到难，有梯度，使学生在巩固本节课知识的 同时也能有所提高。第二题的设立除上述目的外，还可让学生思考这三数之间的 关系，为下节课学习等比数列前 n项和公式的性质做铺垫。通过能力训练，培养 学生的应变和举一反三的能力，逐步形成技能。
总结结论，强化认识
本节课的重点内容：
1、 等比数列前n项和公式
2、 公式的推导方法——错位相减法
3、 求和思路一一构造常数列或部分常数列
通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也
1、
1、
2、
能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标（六）布置作业针对学生素质的差异进行分层训练，即除课本的练习外，另加一道付加题,此题为高考改编题，有兴趣的同学可选做。这样既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高。作业内容如下：1、在等比数列?中；（1）已知 a 1 = - 1, a 43⑵ 已知a3
能培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标
（六）布置作业
针对学生素质的差异进行分层训练，即除课本的练习外，另加一道付加题,
此题为高考改编题，有兴趣的同学可选做。这样既使学生掌握基础知识，又使学
有余力的学生有所提高。作业内容如下：
1、在等比数列?中；
（1）已知 a 1 = - 1, a 4
3
⑵ 已知a3二^ , S3
64,求q与s
2,求a1与q.
2、附加题:
（2009辽宁卷）设等比数列｛
an｝的前n项和为Sn ，若鱼=3 ，则竺=（） S3 &
(A) 2
(D)3
（七）板书
2.5等比数列前n项和 、等比数列前n项和公式
二、公式推导
例1：
S /(1-qn)
1 -q
(q = 1)
当 q =1 时，Sn =na1
1 -q
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